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成人高考高中起点数学公式汇编

http://www.edu-hb.com     2009-2-11 10:54:37     来源: 湖北wusong888     



一、函 

1、函数的值域(首先要挖掘隐含的定义域)

⑴转化为基本函数,特别是二次函数;练习:1、(C97.10)函数

  最小值;2、已知: ,α、β , 范围.

⑵有理分式型:Ⅰ

               练习:(C95)作函数 的图象

               用△法,注意

⑶无理型:

 

2、函数的奇偶性(首先定义域必须关于原点对称)

⑵奇函数

⑶任一个定义域关于原点对称的函数 一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和

 

⑷练习:①(C93) 是偶函数,且    

      A、奇      B、偶       C、既奇又偶        D、非奇非偶

    (C94)定义在 上的函数 可以表示成奇函数g(x)与偶函数h(x)之和,

      ,那么(     

      A

      B

      C

      D

 

3、函数的单调性

(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)

1、定义:区间D上任意两个值 ,若 时有 ,称 D上增

         函数,若 时有 ,称 D上减函数。

   练习:C91,用单调性定义证明 上为减函数

2、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;

   偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。

   练习:设 为奇函数,且在区间[a,b] (0<a<b)上单调减,证明 [-b,-a]上单调减。

3、讨论函数 k为实常数)的单调区间。

4、(C95)已知: [01]上是减函数,则a的范围             

5 上减,则a的范围:(-44]

 

4、函数的图象

1平移

横向

纵向

2伸缩

横向

纵向

3对称

中心对称

3对称

斜率为1

,点

斜率为-1

一条曲线

 

满足 ,则

关于直线 对称;(由 求得)

两条曲线

函数 关于直线 对称。

   (由 解得)

4典型例题

(C90) 的图象 ,则 的表达式:

(C92) 对任意t均有 ,则 大小关系为:

(C97) 的图象。

 

(i) 满足 ,则 的对称轴为       

  (ii)函数 的对称轴为           

  (iii) 为定义在R上的偶函数,且 恒成立,则

      的一个周期为:           

 

(i) 满足 ,则 的对称轴为            

  (ii)函数 的对称轴为              

  (iii) 为偶函数,则 的一条对称轴为           

 

(C98)C ;将C沿x轴、y轴正向分别平移tS单位后得曲线C1

   ①写出C1的方程;

   ②证明:C1C关于点A 对称;

   ③如果C1有且仅有一个公共点,证明

5、反函数、幂函数、指数函数、对数函数

 

1反函数

 

(C92) ,则

(C94) ,作出 的图象;

⑶定义在R上的奇函数 ,当 , ,求 的反函数

2幂函数

 

(C92)幂函数  n 四个值,在同一坐标系中作出它们的图象;

在同一坐标系中作出 的图象,(考试说明中规定只要掌握以上八个幂函数的图象。)

3指数对数

 

(96)在同一坐标系中分别作 的图象(分a>1,0<a<1

(S96) ,则ab1的大小关系为            

(S98) ,函数 的图象不经过              象限。

 

6、关于恒成立的解题方法小结

方法一:转化

转化为关于主元的函数

⑴设 ,不等式 对于满足条件的一切p

  均成立,求c范围(主元为p,关于p为一次函数)

(C88)对一切实数x,不等式: 恒成立,

   a的取值范围;(主元为x,关于x为二次函数,且x没有范围限制)

(2001江苏会考题)f(x)为定义在 上的偶函数,且在 上为减,

  ①求证f(x) 上为增函数;

②若 ,求使 成立的实数m的取值范围(注:设 为主元,可用二次函数,

方法二:变量分离后

变量分离后>( )max

<( )min

(C90) ,其中a为实数,n是任意

   给定的自然数,且 ,若 时有意义,求a的范围。(等

   价于 上恒成立,变量分离

   上恒成立)

⑵(2000会考题)已知不等式:

对一切自然数n都成立,求实数a取值范围(先证 为减, ,由 解关于a的不等式得

方法三:数形结合

⑴ 不等式 上恒成立,求a的范围;

⑵ 函数 上均有意义,求a的范围。

 

 

二、三角函数

1、概念

α、β是第一象限的角,α<β是sinα<sinβ的什么条件?

AB为△ABC的内角,A<BsinA<sinB的什么条件?

AB为△ABC的内角,A<Bcos2A>cos2B的什么条件?

的什么条件?

时,sinX<X<tgX成立(用单位圆中的面积证)

由α所在的象限,可据此图确定 所在的象限。(画出图示)

 

 

 

 

 

 

 

2、图象

对称性

 

的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,对称轴方程:

  解得,即由             解得。

  对称中心横坐标:由 ,即由         ,解得。纵坐标y=0

 

的图象是中心对称,对称中心在x轴上,横坐标由

  无意义的解得。即由                          解得。

平移与伸缩

              (在—→上增上相应的变换。)

 

3、三角中的典型(解题方法或技巧)题型及解题方法、技巧

   1、求 的单调区间(注意①复合函数,②定义域)

   2、形如 的值域的求法

      

      例:求 <,SPAN style="FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'">的值域,①定义域为自然限制;②人为限制

    3、①(C91) 的图象的一条对称轴方程为:

        A       B        C      D

②函数 的图象关于直线 对称,求a

    4常规的化简或计算

      1(C2000) ,①当y取最大值时,求自变量x的集合;

②该函数的图象可由y=sinx图象经过怎样变换得到?

      变题1 上至少有50个最大值,求k的范围。

      提示:

      变题2 上至少有50个最小值呢?

      提示:

      变题3:若换成 呢?

    2C87,同课本P2294

      的值;

      分析:只要求

      方法一:由于 任两角和或差可得特殊角,故任两项用积化和差,分配后

              再用积化和差,非特殊角相消;

      方法二:化成余弦的积 ,由于角成两倍,可

      方法三: ,由公式 =

              (要证明)

    3C90)求 的最大值。

      特征: 的函数;

      方法:换元:设 转化为二次函数;

      [变题]1、求 的值域。

              提示:可化为 的函数,

                   

           2、求 ,在 时的值域。

    4C90),已知 ,求

      推广与变题:已知

      的所有函数值  ①②分别化积 相除得 万能公式(均只有1      解)

      的所有函数值  2+2可求 (只有一解) 由同角关系求其余

(有两解)

      ⑶求

        方法一:由⑴⑵先求出 展开解方程组

        方法二:由⑴⑵先求 ,而

                 化入即可。

      ⑷进一步求      化弦 ,然后用上述方法。

     

    5,(C91)求函数 的最小值及对应的x值。

      分析:关于 的二项齐次式,常规转化思路有:

        ⑴分母看成

       

  

 6C95,书P2334)求 的值;

 

 


    7C94文,书P2305的变题)

      求函数 的最小值及对应的x值。

    8,注意隐含条件的挖掘,确定结果的取舍。

      ⑴△ABC中, ,求 ;(注可用△ABC中,A>BsinA>

sinB充要条件)

      ⑵若α、β为锐角, ,求 的值;

      ⑶设 ,且 ,求 的值。

 

9,三角形中的恒等式

(书P23310,从中小结证法)

  (降幂后转化为4

  P26422 两边取正切)

   两边取正切

 

⑼应用举例 ①△ABC中,若 ,判定△ABC的形状;

           ②△ABC中,求 的值。(P26422②)

 

 

10,△ABC中,a,b,c

⑴求证: 法一:余弦Th化为边:

                   

              法二:化为函数:

⑵设 ,求k的范围,用⑴

⑶求证:

⑷求 的值。

三、反三角函数

 

(一)概念(填写空白)

 

反正弦

反余弦

反正切

反余弦

定义域

 

 

 

 

值域

 

 

 

 

图像

 

 

 

 

性质

 

 

 

 

 

(二)几组公式

第一组

 

        

        

        

第二组

 

 

 

第三组,反三角函数的三角运算(借助于

  

    1               1

     x          x  

 

         

            

           

            x              1

       1              x

           

             

 

不等式的解法

类型I:整式不等式

1、设不等式 的解集为 ,解不等式

  答案:

2、已知: 的解集为 ,试解下列不等式

   

  答案:①               

3 (零点序轴法)

4、(C87)若不等式 恒成立,求

   a范围 

 

类型Ⅱ:分式不等式

1 (化除为乘), (化除为乘)

2 (移项通分)~ (化除为乘)

3、解不等式:

4、解关于x的不等式:   k为常数)

 

 

类型Ⅲ:无理不等式

1

2

3、解关于x的不等式: (用代数法)

4、解关于x的不等式: (用几何法)

5、关于x的不等式:

   ①若能集为(04),求a的范围;

   ②若能集为(02),求a的值;

   ③解关于x不等式。

 

 

类型Ⅳ:指数、对数不等式

1 等价于:(自己填空)

2 等价于:(自己填空)

3、(C86)当 时,解关于x的不等式:

4、(C88)解不等式:

5、(C91)设a>1,解关于x的不等式

  

 

6、(C96)解关于x的不等式:

 

 

 

类型Ⅴ:绝对值不等式

 

 

 

 

 

 

 


不等式的证明

重要公式

1 (可直接用)

2 (要会证明)

3 即可)

4

5

 

证明方法

方法一:作差比较法:

    已知: ,求证:

    证:左-右=

方法二:作上比较法,设abc ,且 ,求证:

   证:

      a>b>0

      0<a<b

      不论a>b还是a<b ,同理可证, ,……

 

方法三:公式法:设a>0,b>0,且a+b=1,求证:

        

     证①由公式: 得:

                  

     证②由

             *

          

           (*)

 

 

方法四:放缩法:

        n>1 

        只要证: 即可

         <

           <

方法五:分析法:设a1a2b1b2 ,求证: (自证)

方法六:归纳猜想、数学归纳法:设 ,求证: (自证)

 

高考题选解

1、(C93)已知关于x的实系数一元二次方程, 有两实根α、β,证明:

   ①如果 ,那么

   ②如果 ,那么

 

 

2、(C94)已知: ,若 ,且 ,证明:

   

 

 

3、(C96)已知:abc为实数,函数 ,当

   时,

   ①证

   ②证明:当 时,

   ③设a>0,当 时, 的最大值为2,求

 

4、(C97)设二次函数 ,方程 两根为 满足

  

   ①当 时,证

   ②设函数 的图像关于直线 对称,证明:

 

 

5、(C98)已知: APb1=1b1+b2++b10=145

    ①求 的通项

    ②设 的通项 的前n项和,比较

      的大小,并证明你的结论。

 

 

6、(C2000)设函数 (I)解关于x的不等式: ()a的取值范围,使f(x)在区间 上为单调函数。

 

 

数列、极限、归纳法

一、等差、等比数列的有关知识

 

等差数列(A·P

等比数列(G·P

定义

常数

的常数

通项公式

③叠加公式

③叠乘:

增减性

d>0 递增

常数列

递减

递增

递减

常数列

摆动数列

n项和

推导方法:例写相加

   乘公比错位相减

Aab的等差中项

Gab的等比中项 

A·P  

  kb常数)

A·P

AP

  

A·P,则

    

    mn同奇或同偶)

AP,则

  AP

G·P  

  

G·P,且

 

G·P  

  

A·P,则

    

GP,则

  GP

二、几个常用结论

1、在AP 中,若共有奇数项 项,则

2、在AP 中,若a1>0 ,则①mk同奇或同偶时, 时,

    ②当mk—奇—偶时,

3AP中, (用多种方法证,如 共线等)

4AP中,

5AP 中,有   C95等差数列 的前n项和分别为 ,若 ,求

6 A·P

其前n项和为 , 的前n项和

a1>0d<0,则数列为减, 时, 时,

则:

a1<0d>0时,数列为增,设 时,

的前n项和 ,求

 

三、求和的常用方法

方法一:变通项,用公式

1

2

3

4                  自己完成)

5、(C89)是否存在常数abc使等式

  对一切自然数n均成立,证明你的结论。(用两种方法完成)

 



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